Wie Viel Ist 3 Hoch 3

Erinnerung: Dice Quadratwurzel

Du kennst schon dice Quadratwurzel. Sie ist die „Umkehrung" von „hoch ii".

$$sqrt121= 11$$, denn $$11^ii = 11 cdot xi = 121$$

Die Wurzel von $$ten$$ ist dice nicht-negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder $$10$$ ergibt.

Wurzeln kann zwar dein Taschenrechner berechnen. Aber trotzdem wird es dir helfen, wenn du die Quadratzahlen gut im Kopf hast.

Was ist dice 3. Wurzel?

Du kannst nicht nur „hoch 2", sondern auch „hoch 3" umkehren! Dazu brauchst du die 3. Wurzel, oder „Kubikwurzel".

$$root 3 (8)= 2$$, denn $$two^3 = 2*2*2 = 8$$

three. Wurzel

$$uarr$$

$$root 3(8)=2$$

$$darr$$

Radikand

$$root 3(a)=b$$ $$rarr$$Die 3. Wurzel ist die nicht-negative Zahl b, dice als dritte Potenz (b³) die Zahl a ergibt.
$$a$$ ist eine reelle, nicht-negative Zahl: $$a in RR$$ und $$a ge 0$$. Dann golden auch $$b in RR$$ und $$b ge 0$$

Das Ziehen der 3. Wurzel ist das Umkehren der 3. Potenz.

Die kleine 3 am Wurzelzeichen bedeutet, dass du die three. Wurzel ziehst.

Geometrisch

Quadrat

Den Flächeninhalt eines Quadrats berechnest du mit $$A=a^2$$. Dabei ist $$a$$ die Seitenlänge.
Also gilt umgekehrt: $$sqrtA=a$$

Die Wurzel des Flächeninhaltes $$A=9$$ des Quadrates ist die Seitenlänge $$a=iii$$.
$$sqrt 9 = three$$, denn $$iii^2=nine$$.

Würfel

Wie kriegst du dice Seitenlänge eines Würfels raus?

Das Volumen $$V$$ eines Würfels berechnest du mit $$V=a^3$$. Also gilded $$root (3)V=a$$.

Die iii. Wurzel des Volumens $$V=8$$ des Würfels ist die Seitenlänge $$2$$.
$$root iii (8)= 2$$, denn $$two^3 = 8$$

Das Wort „Kubik" stammt von „Kubus". Das bedeutet Würfel.

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Ein paar Beispiele

$$root 3 (1)=1$$, denn $$1^3=1$$

$$root 3 (8)=ii$$, denn $$2^3=eight$$

$$root three (27)=three$$, denn $$3^3=27$$

$$root 3 (64)=four$$, denn $$4^3=64$$

$$root iii (125)=v$$, denn $$five^three=125$$

$$root 3 (one 000)=x$$, denn $$ten^3=thou$$

Jetzt auch mit Komma

Auch Dezimalzahlen haben Kubikwurzeln:

$$root 3 (3,375)=one,5$$

$$root 3 (0,125)=0,5$$

$$root 3 (0,001)=0,i$$

$$root 3 (15,625)=2,five$$

Und Brüche

$$root 3(8/27)=2/iii$$, denn $$(ii/3)^3=ii/iii*ii/iii*two/iii=8/27$$

$$root 3(one/125)=1/v$$, denn $$(1/five)^three=one/five*1/5*1/five=1/125$$

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Irrational?

Du hast jetzt eine Menge 3. Wurzeln gesehen, dice natürliche Zahlen sind (64) oder Dezimalzahlen (0,5) oder Brüche. Die meisten 3. Wurzeln sind allerdings irrational, das heißt nicht-abbrechende, nicht-periodische Dezimalzahlen.

Beim Berechnen hilft dir der Taschenrechner. Suche dice Gustatory modality für die 3. Wurzel und tippe ein:

$$root three(x)$$  $$ 15$$
oder
 $$ xv$$ $$root 3(x)$$

und der Taschenrechner gibt dir $$two,4662120743…$$ aus. Die Anzahl der Nachkommastellen kann verschieden sein, je nachdem, wie viel Platz auf deinem Display ist.
Meist sollst du auf ii Nachkommastellen runden:
$$root 3(15) approx 2,47$$

Irrationale Zahlen kennst du schon von den Quadratwurzeln. $$sqrt2$$ oder $$sqrt3$$ sind irrationale Zahlen.

Buchstabensalat

Du ahnst es schon: Was mit Zahlen geht, geht auch mit Variablen.:-) Bei Variablen muss bloß immer dabei stehen, welche Zahlen du einsetzen kannst.

Beispiele:

$$root 3 (10^3)=x$$ - mit $$x ge0$$

$$root 3 (ten^half dozen)= x^ii$$, denn $$(x^2)^iii=10^vi$$ - mit $$10 ge0$$

$$root 3 (1/y^6)= 1/y^two$$, denn $$(1/y^2)^3=1^3/((y^two)^iii) = 1/y^six$$ - mit $$y ge0$$

Intervallschachtelung

Mit der Intervallschachtelung kannst du dice 3. Wurzel näherungsweise berechnen, ohne die Wurzeltaste deines Taschenrechners zu benutzen.

Beispiel: $$root 3 (52)$$

Hinweis: Die blau markierten Rechenschritte berechnest du mit dem Taschenrechner.

ane. Schritt: Das erste Intervall finden

Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt $$root iii (52)$$?

• Probiere es mit den Kubikzahlen $$i^3$$, $$2^iii$$, $$3^iii$$, $$4^3, … $$ aus.
• Es gilt $$3^3 = 27 le 52 le 4^3 = 64$$. Also liegt $$root iii (52)$$ zwischen $$three$$ und $$four$$.

2. Schritt: Schachtele das Intervall weiter ein

• Füge eine Nachkommastelle an.
• Probiere mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(three,i)^3, (three,2)^3, (iii,three)^iii, …, (3,ix)^3$$ die Zahl $$52$$ liegt.
• $$3,7leroot 3 (52)le3,8$$ , weil $$(iii,seven)^3=50,65$$$$le52le$$$$(3,8)^3=54,87$$

3. Schritt: Zwei Nachkommastellen

• Berechne mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(3,71)^3, (3,72)^3, (3,73)^3, …, (3,79)^3$$ die Zahl $$52$$ liegt.
• $$three,73leroot 3 (52)le3,74$$ , weil $$(3,73)^iii=51,nine$$$$le52le$$$$(iii,74)^three=52,31$$

3. Schritt: Drei Nachkommastellen

• Finde mit dem Taschenrechner heraus, zwischen welchen der Zahlen $$(3,731)^3, (3,732)^three, (3,733)^3, …, (3,739)^iii$$ die Zahl $$52$$ liegt.
• $$3,732leroot three (52)le3,733$$ , weil $$(three,732)^three=51,98$$$$le52le$$$$(iii,733)^3=52,02$$

Mit jedem Schritt grenzt du $$root iii (52)$$ genauer ein. Da $$root iii (52)$$ irrational ist, erhältst du aber niemals den exakten Wert.

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Source: https://www.kapiert.de/mathematik/klasse-9-10/rechnen/n-te-wurzeln-und-potenzen-mit-gebrochenem-exponenten/dritte-wurzeln-berechnen/

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